CASOS DE FACTOREO

PRIMER CASO: CASO FACTOR COMÚN

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

REGLA: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

EJERCICIOS RESUELTOS:

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
7x² + 11xa - 4x⁵ + 3x⁴ - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
9x³ - 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 3x². (3x - 2 + 4x³ - 6x⁵)
4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵ = 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶ - x⁴)
9x²ab - 3xa²b³ + x²az = xa. (9xb - 3ab² + xz)

EJERCICIOS POR RESOLVER:

24 a² xy² -36x² y⁴
36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵
8a - 4b + 16c + 12d
(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x²
3a + 2b - 5c + 9d
5x⁴ - 2x³ - 3x + 4
abc+abc²
b+b²
9x2 + 6x – 3
10x3 – 5x2
9x2 + 6x – 3 = 3(3x2 + 2x – 1)
2x3 – 6x2 + 4x = 2x(x2 – 3x + 2)
10x3 – 5x2 = 5x2(2x – 1)
x4 – x3 + x2 – x = x(x3 – x2 + x – 1)
2x3 – 6x2 + 4x
x4 – x3 + x2 – x

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VÍDEO

VÍDEO POR EL MÉTODO DE ASPA

SEGUNDO CASO: AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

REGLA: Agrupamos los términos que tengan factores comunes en un paréntesis, y los demás que tengan factores comunes en otro paréntesis, y separamos estos dos paréntesis por el signo que tenga el segundo término.

EJERCICIOS RESUELTOS:

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) = (a + b).(4 + x)

4a + 4b + xb + xa =

4.(a + b) + x.(b + a) = 4.(a + b) + x.(a + b) = (a + b).(4 + x)

4a - 4b + xa - xb =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

4a - 4b - xb + xa =

4.(a - b) + x.(-b + a) =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

4a - 4b - xa + xb =

4.(a - b) + x.(-a + b) = 4.(a - b) - x.(a - b) = (a - b).(4 - x)

EJERCICIOS POR RESOLVER:

4a - 4b + xb - xa =
-4a - 4b - xa - xb =
4x²a + 3y + 12ax + yx =
4a - 7x²a + ya + 4z - 7x²z + yz =
4x³ - 4x² + x - 1 =
6ax+3a+1+2x=
1+a+3ab+3b=
am-bm+an-bn=
6m-9n+21nx-14mx
ax-2bx-2ay+4by=
3ax-3x+4y-4ay=

IMAGEN:

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TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

REGLA: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de esos términos.

EJERCICIOS RESUELTOS:

x² − 2x + 1 = (x − 1)²
x² − 6x + 9 = (x − 3)²
x² − 20x + 100 = (x − 10)²
^{x² + 10x + 25 =}(x + 5)²
^{x² + 14x +49 =(x + 7)²}

EJERCICIOS POR RESOLVER:

x² + 6x + 9 =
x² + 2x + 1 =
x² + 8/3 x + 16/9 =
x² - 10x + 25 =
x + x² + 1/4 =
9x² + 30x + 25 =
x⁶ + 10x³ + 25 =
4x² + 4xa³ + a⁶ =
1/4 b⁶ + x⁴a² - x²ab³ =
25x⁶ + 10 x⁵ + x⁴ =

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CUARTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

En los productos notables (89) se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.

REGLA: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

EJERCICIOS RESUELTOS:

(x³ + 2).(x³ - 2) = x⁶ - 2x³ + 2x³ - 4 = x⁶ - 4
x² - y² = (x + y).(x - y)
y⁴ - 1/4 = (y² + 1/2).(y² - 1/2)
81/16 - a¹⁰ = (9/4 + a⁵).(9/4 - a⁵)
x⁸ - 9/100 = (x⁴ + 3/10).(x⁴ - 3/10)

EJERCICIOS POR RESOLVER:

a6/36 - 49b4/100 =
x2nb8n - 1/169 =
0.81a6 - 1.21b8 =
1.69x8y10 - 2.25z12 =
a4nb6n - c12x /64 =
(m - n)2 - (x + y)2 =
(3x - 4)2 - (2x - 6)2 =
(3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2 =
25a10 - (3a2 + 4)2 =
36(x - y)2 - 16(x + y)2 =
(c2a + ab2)2 - (ac2 - ab2)2 =

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QUINTO CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar

y restar un mismo numero ( semejante al segundo termino) para que el segundo termino sea

sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso

se le denomina completar cuadrados.

EJERCICIOS RESUELTOS:

EJERCICIOS POR RESOLVER:

m⁴ + 6m²+ 25.
a⁴ + a² + 1
16m⁴-25m²n²+9n⁴=
a⁴+a²+1=
m+mn+n⁴=
x⁴-6x²+1=
49+76n²+64n=⁴
c⁴-45c²+100=
25x⁴-139x²y²+81y⁴=
225+5m²+m⁴=

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SEXTO CASO: TRINOMIO DE LA FORMA X²+BX+C

REGLA: 1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x )(x )

2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del trinomio ( x+ ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del trinomio. (x)(x) = x –> (x+ )

3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra (x+ )(x+ )se buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3° término del trinomio. Y estos 2 números se colocan como 2° términos dentro de los factores binomios.

4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra (x+ )(x- ) ó (x- )(x+ ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio. El mayor de estos 2 números es el 2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término del 2° factor binomio.

EJERCICIOS RESUELTOS

m²– 7m + 12= (m – 3) (m – 3)

EJERCICIOS POR RESOLVER:

x² + 7ax - 60a²
X² -5X+6=
X² +3x-10=
A² +7ª+6=
x² -5x-36=
m² -20m-300=
n² -6n-40=
a² -2ª-35=
a² +a-380=
x ²-7x-30

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SÉPTIMO CASO:TRINOMIO DE LA FORMA AX² +BX + C

REGLA: Multiplicamos al trinomio por el coeficiente de x²
Extraemos la raíz y cuadrada y aplicamos la regla del sexto caso
Para no alterar al trinomio dividimos para el numero que fue multiplicado al inicio, si es que el binomio no es divisible tenemos que descomponer al numero

EJERCICIOS RESUELTOS:

4x2 + 8x + 3
= 4x2 + 6x + 2x + 3
= (4x2 + 6x) + (2x + 3)
= 2x(2x + 3) + (2x + 3)
= (2x + 1)(2x + 3)
2x2 + 5x + 3
= 2x2 + 3x + 2x + 3
= x(2x+3) + (2x + 3)
= (2x + 3) ( x + 1)
6x2 + 7x + 2
= 6x2 + 4x + 3x + 2
=2x(3x + 2)+(3x + 2)
=(2x + 1)(3x + 2)
6x2 + 5x - 4
= 6x2 + 8x - 3x - 4
= (6x2 + 8x) - (3x + 4)
= 2x(3x + 4) - (3x + 4)
= (2x - 1)(3x + 4)
6x2+17x+12
= 6x2 + 8x + 9x + 12
= (6x2 + 8x) + (9x + 12)
= 2x(3x + 4) + 3(3x + 4)
= (2x + 3)(3x + 4)

EJERCICIOS POR RESOLVER:

15a²-8a-12
10m²-m-21
12m²-25m+12
20x²+x-1
12x²-7x-12
x2 + 7x + 10
x2+ 4x - 21
x2 -5x -14
x2 -7x +12
x2+2x -15

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OCTAVO CASO: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS:

Para factorarlo se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son positivos y con ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

EJERCICIOS RESUELTOS:

(3x+8)º3=
(3x)º3+3.(3x)º2.8+ 3.3x.8º2+8º3=
27xº3+216xº2+567x+512
(2xº2+3)º3=
(2xº2)º3+3.(2xº2)º2.3+3.2xº2+3º2+3º3=
8xº6+18xº4+54xº2+9
)(x+5)º3=
xº3+75xº2+75x+125
(xº2-8)º3=
(xº2)º3+3.(xº2)º2.(-8)+3.xº2.(-8)º2+(-...‡
xº6-24xº4-192xº2-512
(2x-7)º3=
4xº3-84xº2-294x-343

EJERCICIOS POR RESOLVER:

x³ - 9x² + 27x - 27 =
a³ - 12a² + 48a - 64 =
x³ - 8 - 6x² + 12x
-1 + y³ - 3y² + 3y =
15x² + 125 + 75x - x³ =
-a³ - 12a² - 48a - 64 =
a³b³ + 3a²b²x + 3abx² + x³ =
y³x³ + 125z³ + 15y²x²z + 75yxz =
3/4 abx² + a³b³ + 3/2 xa²b² + 1/8 x³ =
8a³ + 12a² + 6 a + x³ =

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NOVENO CASO: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores:

La suma de sus raíces cúbicas.

El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

La diferencia de sus raíces cúbicas.

El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos

EJERCICIOS RESUELTOS:

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1+a³⁼
y³-1=
8x³-1=
a³+27⁼
x⁶-8y¹²⁼
1-a³=
64³-729=
X³+y³=
m³-n³=
x³-27=

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DÉCIMO CASO: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:

El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces n- ésimas diferentes a raíces cuadradas o cúbicas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo término.
Dividir la expresión original entre la suma o resta (de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces.
Igualar éste término a la suma de los (n-1) monomios en donde se observa que el primer termino comienza elevado a la (n-1) y termina en 0, mientras que el segundo término comienza en 0 y termina en (n-1).
Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJERCICIOS RESUELTOS: